Полное и реактивное сопротивление
Конденсаторы и индуктивности являются линейными элементами. Это означает, что амплитуда выходного сигнала, независимо от его формы, строго пропорциональна амплитуде входного сигнала. Линейностью обусловлены многие закономерности поведения схем, и важнейшая состоит в следующем: если на вход линейной схемы подан синусоидальный сигнал с частотой f, то на выходе будет получен также синусоидальный сигнал с такой же частотой, но, возможно, с другой амплитудой и фазой.
Можно обобщить закон Ома, заменив понятие «сопротивление» понятием «полное сопротивление», или «импеданс», тогда он будет справедлив для любой схемы, в состав которой входят линейные пассивные элементы (резисторы, конденсаторы, индуктивности). Итак, понятия «импеданс» и «реактивное сопротивление» делают закон Ома справедливым для схем, содержащих конденсаторы и индуктивности. Уточним терминологию.
Импеданс – это обобщенное или полное сопротивление, индуктивности и конденсаторы обладают реактивным сопротивлением (можно сказать, что они реагируют на воздействие); резисторы обладают сопротивлением (по аналогии они оказывают сопротивление воздействию). Иными словами, импеданс = сопротивление + реактивное сопротивление.
Однако можно встретить, например, такое выражение: «импеданс конденсатора на данной частоте составляет…». Дело в том, что в импеданс входит реактивное сопротивление, и поэтому не обязательно говорить «реактивное сопротивление конденсатора», можно сказать и «импеданс конденсатора». На самом деле слово «импеданс» часто употребляют и тогда, когда известно, что речь идет о сопротивлении; например, говорят «импеданс источника» или «выходной импеданс», имея в виду эквивалентное сопротивление некоторого источника. То же самое относится и к «входному импедансу».
Реактивное сопротивление конденсаторов и индуктивностей
Для начала рассмотрим конденсатор, на который подается синусоидальное напряжение источника питания
Конденсатор ведет себя как резистор, сопротивление которого зависит от частоты и определяется выражением R = 1/2πf C, и, кроме того, ток, протекающий через конденсатор, сдвинут по фазе на 90° относительно напряжения
Например, через конденсатор емкостью 1 мкФ, подключенный к силовой сети с напряжением 110 В (эффективное значение) и частотой 50 Гц, будет протекать ток, эффективная амплитуда которого определяется следующим образом: I = 110/[1/(2π·50·10‑6)] = 34,5 мА (эффективное значение).
Для конденсатора
XC = – 1/2πf C,
ХC – это реактивное сопротивление конденсатора на частоте f. Конденсатор емкостью 1 мкФ, например, имеет реактивное сопротивление –3184Ом на частоте 50 Гц и –0,159 Ом на частоте 1 МГц. Для постоянного тока реактивное сопротивление равно бесконечности.
Аналогичные рассуждения для индуктивности дают следующий результат:
XL = 2πf L.
Схема, содержащая только конденсаторы и индуктивности, всегда обладает мнимым импедансом; это значит, что напряжение и ток всегда сдвинуты по фазе друг относительно друга на 90°‑ схема абсолютно реактивна. Если в схеме присутствуют резисторы, то импеданс имеет и действительную часть. Под реактивным сопротивлением подразумевается при этом только мнимая часть импеданса.
Обобщенный закон Ома. Соглашения, принятые для представления напряжений и токов, позволяют записать закон Ома в следующей простой форме:
I = U /Z , U = I ·Z , означающей, что напряжение U , приложенное к схеме с импедансом Z , порождает ток I . Импеданс последовательно и параллельно соединенных элементов определяется по тем же правилам, что и сопротивление последовательно и параллельно соединенных резисторов:
Z = Z1 + Z2 + Z3 +…
(для последовательного соединения)
Приведем формулы для определения импеданса резисторов, конденсаторов и индуктивностей:
ZR = R (резистор),
ZC = –1/2πf C (конденсатор),
Z L = 2πfL (индуктивность).
Полученные зависимости позволяют анализировать любые схемы переменного тока с помощью методов, принятых для схем постоянного тока, а именно с помощью закона Ома и формул для последовательного и параллельного соединения элементов.
Так же как и для схем постоянного тока, для сложных разветвленных схем переменного тока справедливы законы Кирхгофа; отличие состоит в том, что вместо токов I и напряжений U здесь следует использовать их комплексные представления: сумма падений напряжения (комплексного) в замкнутом контуре равна нулю; сумма токов (комплексных), втекающих в узел, равна сумме токов (комплексных), вытекающих из него. Из последнего правила, как и в случае с цепями постоянного тока, вытекает, что ток (комплексный) в последовательной цепи всюду одинаков.
Мощность в реактивных схемах. Мгновенное значение мощности, потребляемой любым элементом схемы, определяется произведением Ρ = UI . Однако в реактивных схемах, где напряжение U и ток I связаны между собой не простой пропорциональной зависимостью, просто перемножить их нельзя. Дело в том, что могут возникать странные явления, например, знак произведения может изменяться в течение одного периода сигнала переменного тока. Такой пример показан на рисунке
На интервалах А и С на конденсатор поступает некоторая мощность (правда, скорость ее изменения переменна), и благодаря этому он заряжается: накапливаемая конденсатором энергия увеличивается (мощность – это скорость изменения энергии). На интервалах В и D потребляемая мощность имеет отрицательный знак – конденсатор разряжается. Средняя мощность за период для нашего примера равна нулю; этим свойством обладают все реактивные элементы (индуктивности, конденсаторы и всевозможные их комбинации).
Средняя мощность определяется следующим выражением:
P = Re(U*I ) = Re(UI* ),
где U и I – эффективные комплексные значения напряжения и тока.
Рассмотрим пример. Допустим, что в предыдущей схеме конденсатор питается
А теперь рассмотрим схему, показанную на рисунке ниже
Выполним ряд преобразований:
Z = R – 1/2πf C,
U = U0,
I = U /Z = U0 / [R – 1/2πf C] = U0 / [R + (1/2πf C)] / [R 2 + (1/2πf 2C 2)],
Ρ = Re (UI*) = U0 2·R /[R 2 + (1/2πf 2C 2)].
В третьей строке преобразований при определении тока I мы умножили числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю, для того чтобы получить в знаменателе действительное число. Полученная величина меньше, чем произведение амплитуд U и I; ее отношение к этому произведению называют коэффициентом мощности:
